Cálculo Exemplos

$y = e^{- x} \cos (2 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = \cos (2 x)$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$e^{- x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$e^{- x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$e^{- x} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 3.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Etapa 5.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Etapa 5.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) (- e^{- x})$

Etapa 5.3.4

Reordene os termos.

$- 2 e^{- x} \sin (2 x) - e^{- x} \cos (2 x)$