Cálculo Exemplos

$y = \log_{5} (\sqrt{5 x + 2})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 x + 2}$ como ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log_{5} (x)$ e $g (x) = {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\log_{5} (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 5 x + 2$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x + 2$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x + 2$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{{(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Etapa 10

Mova ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Etapa 11

Multiplique $\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5))} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Etapa 12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Etapa 13

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Etapa 13.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Etapa 14

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Etapa 14.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Etapa 15

Simplifique.

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Etapa 16

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 17

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 19

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 20

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 + 0)$

Etapa 21

Combine frações.

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Etapa 21.1

Some $5$ e $0$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} \cdot 5$

Etapa 21.2

Combine $\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)}$ e $5$ .

$\frac{5}{2 (5 x + 2) \ln (5)}$

Etapa 22

Simplifique.

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Etapa 22.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5}{(2 (5 x) + 2 \cdot 2) \ln (5)}$

Etapa 22.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5}{2 (5 x) \ln (5) + 2 \cdot 2 \ln (5)}$

Etapa 22.3

Combine os termos.

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Etapa 22.3.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{5}{10 x \ln (5) + 2 \cdot 2 \ln (5)}$

Etapa 22.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{5}{10 x \ln (5) + 4 \ln (5)}$