Cálculo Exemplos

$y = \ln (\sqrt[3]{\frac{x - 1}{x + 1}})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{\frac{x - 1}{x + 1}}$ como ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Etapa 7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Etapa 10

Diferencie.

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Etapa 10.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Etapa 10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Etapa 10.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Etapa 10.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Etapa 10.4.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Etapa 10.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}})$

Etapa 10.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}})$

Etapa 10.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}})$

Etapa 10.8

Combine frações.

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Etapa 10.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}})$

Etapa 10.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}} \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}})$

Etapa 10.8.3

Multiplique $\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} \cdot 3} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 10.8.4

Mova $3$ para a esquerda de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{3 \cdot {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{3 {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 11.2

Aplique a regra do produto a $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{3 {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 11.3

Aplique a regra do produto a $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 11.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 11.5

Combine os termos.

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Etapa 11.5.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$1 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 11.5.2

Multiplique $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 11.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{x + 1 - x + 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 11.5.4

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{0 + 1 + 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 11.5.5

Some $0$ e $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1 + 1}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 11.5.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{2}{3 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 11.5.7

Multiplique $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{2}}$ por $\frac{{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.5.8

Mova ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}$

Etapa 11.5.9

Multiplique ${(x + 1)}^{2}$ por ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.5.9.1

Mova ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 ({(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} {(x + 1)}^{2}) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.5.9.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{- \frac{2}{3} + 2} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.5.9.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.5.9.4

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.5.9.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.5.9.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.5.9.6.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{- 2 + 6}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.5.9.6.2

Some $- 2$ e $6$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 11.5.10

Multiplique $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 11.5.11

Multiplique ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.5.11.1

Mova ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 11.5.11.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 11.5.11.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 11.5.11.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{3}} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 11.5.11.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{{(x - 1)}^{1} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 11.5.12

Simplifique ${(x - 1)}^{1} (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{(x - 1) (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 11.5.13

Mova $2$ para a esquerda de ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{(x - 1) (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 11.5.14

Mova $3$ para a esquerda de $x - 1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 \cdot (x - 1) {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 11.5.15

Mova ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}$

Etapa 11.5.16

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.5.16.1

Multiplique ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ por ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.5.16.1.1

Mova ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 (x - 1) ({(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 11.5.16.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} + \frac{4}{3}}}$

Etapa 11.5.16.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{3}}}$

Etapa 11.5.16.1.4

Some $- 1$ e $4$ .

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 11.5.16.1.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{2}{3 (x - 1) {(x + 1)}^{1}}$

Etapa 11.5.16.2

Simplifique $3 (x - 1) {(x + 1)}^{1}$ .

$\frac{2}{3 (x - 1) (x + 1)}$

Etapa 11.6

Reordene os termos.

$\frac{2}{3 (x + 1) (x - 1)}$