Cálculo Exemplos

$y = \ln (\frac{x}{x + 1})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x}{x + 1}$ .

$1 \frac{x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Etapa 3

Multiplique $\frac{x + 1}{x}$ por $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.6

Simplifique os termos.

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Etapa 5.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.6.4

Some $0$ e $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.6.5

Multiplique $\frac{x + 1}{x}$ por $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.6.6

Cancele o fator comum de $x + 1$ e ${(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 5.6.6.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.6.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.6.6.2.1

Fatore $x + 1$ de $x {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x (x + 1))}$

Etapa 5.6.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x (x + 1))}$

Etapa 5.6.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x (x + 1)}$