Cálculo Exemplos

$y = \ln (1 - x e^{- x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 - x e^{- x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 - x e^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 - x e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x e^{- x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1))$

Etapa 5.5

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x}))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x})) - e^{- x})$

Etapa 6.2

Combine os termos.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (1 (x (e^{- x})) - e^{- x})$

Etapa 6.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$

Etapa 6.3

Reordene os fatores de $\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$ .

$(x e^{- x} - e^{- x}) \frac{1}{1 - x e^{- x}}$

Etapa 6.4

Multiplique $x e^{- x} - e^{- x}$ por $\frac{1}{1 - x e^{- x}}$ .

$\frac{x e^{- x} - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

Etapa 6.5

Fatore $e^{- x}$ de $x e^{- x} - e^{- x}$ .

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Etapa 6.5.1

Fatore $e^{- x}$ de $x e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} x - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

Etapa 6.5.2

Fatore $e^{- x}$ de $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1}{1 - x e^{- x}}$

Etapa 6.5.3

Fatore $e^{- x}$ de $e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{- x} (x - 1)}{1 - x e^{- x}}$