Cálculo Exemplos

$y = \ln (\sec (4 x) + \tan (4 x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sec (4 x) + \tan (4 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (4 x) + \tan (4 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (4 x) + \tan (4 x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x) + \tan (4 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (4 x) + \tan (4 x)$ .

$\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} \frac{d}{d x} [\sec (4 x) + \tan (4 x)]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sec (4 x) + \tan (4 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sec (4 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]$ .

$\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} (\frac{d}{d x} [\sec (4 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (4 x)])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\tan (4 x)])$

Etapa 3.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\tan (4 x)])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\tan (4 x)])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (4 x)])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (4 x)])$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} (\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4 + \frac{d}{d x} [\tan (4 x)])$

Etapa 4.3.2

Mova $4$ para a esquerda de $\sec (4 x) \tan (4 x)$ .

$\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} (4 \cdot (\sec (4 x) \tan (4 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (4 x)])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $4 x$ .

$\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} (4 \sec (4 x) \tan (4 x) + \frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 5.2

A derivada de $\tan (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\sec^{2} (u_{3})$ .

$\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} (4 \sec (4 x) \tan (4 x) + \sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $4 x$ .

$\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} (4 \sec (4 x) \tan (4 x) + \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} (4 \sec (4 x) \tan (4 x) + \sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} (4 \sec (4 x) \tan (4 x) + \sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))$

Etapa 6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} (4 \sec (4 x) \tan (4 x) + \sec^{2} (4 x) \cdot 4)$

Etapa 6.3.2

Mova $4$ para a esquerda de $\sec^{2} (4 x)$ .

$\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} (4 \sec (4 x) \tan (4 x) + 4 \cdot \sec^{2} (4 x))$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} (4 \sec (4 x) \tan (4 x) + 4 \sec^{2} (4 x))$ .

$(4 \sec (4 x) \tan (4 x) + 4 \sec^{2} (4 x)) \frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \sec (4 x) \tan (4 x) \frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} + 4 \sec^{2} (4 x) \frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)}$

Etapa 7.3

Multiplique $4 \sec (4 x) \tan (4 x) \frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)}$ .

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Etapa 7.3.1

Combine $\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)}$ e $4$ .

$\frac{4}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} \sec (4 x) \tan (4 x) + 4 \sec^{2} (4 x) \frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)}$

Etapa 7.3.2

Combine $\frac{4}{\sec (4 x) + \tan (4 x)}$ e $\sec (4 x)$ .

$\frac{4 \sec (4 x)}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} \tan (4 x) + 4 \sec^{2} (4 x) \frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)}$

Etapa 7.3.3

Combine $\frac{4 \sec (4 x)}{\sec (4 x) + \tan (4 x)}$ e $\tan (4 x)$ .

$\frac{4 \sec (4 x) \tan (4 x)}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} + 4 \sec^{2} (4 x) \frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)}$

Etapa 7.4

Multiplique $4 \sec^{2} (4 x) \frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)}$ .

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Etapa 7.4.1

Combine $\frac{1}{\sec (4 x) + \tan (4 x)}$ e $4$ .

$\frac{4 \sec (4 x) \tan (4 x)}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} + \frac{4}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} \sec^{2} (4 x)$

Etapa 7.4.2

Combine $\frac{4}{\sec (4 x) + \tan (4 x)}$ e $\sec^{2} (4 x)$ .

$\frac{4 \sec (4 x) \tan (4 x)}{\sec (4 x) + \tan (4 x)} + \frac{4 \sec^{2} (4 x)}{\sec (4 x) + \tan (4 x)}$

Etapa 7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 \sec (4 x) \tan (4 x) + 4 \sec^{2} (4 x)}{\sec (4 x) + \tan (4 x)}$

Etapa 7.6

Fatore $4 \sec (4 x)$ de $4 \sec (4 x) \tan (4 x) + 4 \sec^{2} (4 x)$ .

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Etapa 7.6.1

Fatore $4 \sec (4 x)$ de $4 \sec (4 x) \tan (4 x)$ .

$\frac{4 \sec (4 x) (\tan (4 x)) + 4 \sec^{2} (4 x)}{\sec (4 x) + \tan (4 x)}$

Etapa 7.6.2

Fatore $4 \sec (4 x)$ de $4 \sec^{2} (4 x)$ .

$\frac{4 \sec (4 x) (\tan (4 x)) + 4 \sec (4 x) (\sec (4 x))}{\sec (4 x) + \tan (4 x)}$

Etapa 7.6.3

Fatore $4 \sec (4 x)$ de $4 \sec (4 x) (\tan (4 x)) + 4 \sec (4 x) (\sec (4 x))$ .

$\frac{4 \sec (4 x) (\tan (4 x) + \sec (4 x))}{\sec (4 x) + \tan (4 x)}$