Cálculo Exemplos

$y = \ln (\tan (3 x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \tan (3 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tan (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{\tan (3 x)} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Etapa 2

Reescreva $\tan (3 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Etapa 3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Etapa 4

Converta de $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ em $\cot (3 x)$ .

$\cot (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$\cot (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 5.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cot (3 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$\cot (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cot (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cot (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)$

Etapa 6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\cot (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 3$

Etapa 6.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $\cot (3 x) \sec^{2} (3 x)$ .

$3 \cdot (\cot (3 x) \sec^{2} (3 x))$

Etapa 6.3.3

Reordene os fatores de $3 \cot (3 x) \sec^{2} (3 x)$ .

$3 \sec^{2} (3 x) \cot (3 x)$