Cálculo Exemplos

$y = 8 e^{- x} + e^{3 x}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 e^{- x} + e^{3 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 e^{- x}]$ .

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Etapa 2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 e^{- x}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$8 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x$ .

$8 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Etapa 2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Etapa 2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$8 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Etapa 2.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$8 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Etapa 2.7

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$8 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Etapa 2.8

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 e^{- x} + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$- 8 e^{- x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 8 e^{- x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$- 8 e^{- x} + e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 e^{- x} + e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 8 e^{- x} + e^{3 x} (3 \cdot 1)$

Etapa 3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 8 e^{- x} + e^{3 x} \cdot 3$

Etapa 3.5

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$- 8 e^{- x} + 3 e^{3 x}$

Etapa 4

Reordene os termos.

$3 e^{3 x} - 8 e^{- x}$