Cálculo Exemplos

$y = 3 (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))]$ .

$3 \frac{d}{d x} [(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)] + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Etapa 3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Etapa 4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Etapa 6

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - - \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da soma.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + 1 \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Etapa 7.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Etapa 7.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Etapa 8

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Etapa 9

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 ((\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))) + 3 ((\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x)))$

Etapa 10.2

Remova os parênteses.

$3 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 10.3

Reordene os termos.

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.2

Expanda $(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 10.4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 10.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.4.3.1.1

Multiplique $3 \cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 10.4.3.1.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.3.1.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.3.1.2

Multiplique $3 \sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 10.4.3.1.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.3.1.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.3.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 {\sin (x)}^{1 + 1} + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.3.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.3.2

Reordene os fatores de $3 \sin (x) \cos (x)$ .

$3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.3.3

Some $3 \cos (x) \sin (x)$ e $3 \cos (x) \sin (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.4

Fatore $3$ de $3 \cos^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{2} (x)) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.5

Fatore $3$ de $3 \sin^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{2} (x)) + 3 (\sin^{2} (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.6

Fatore $3$ de $3 (\cos^{2} (x)) + 3 (\sin^{2} (x))$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.7

Reorganize os termos.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.8

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cdot 1 + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.9

Multiplique $3$ por $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.10

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + (3 \cos (x) + 3 (- \sin (x))) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.11

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + (3 \cos (x) - 3 \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.12

Expanda $(3 \cos (x) - 3 \sin (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 10.4.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) - 3 \sin (x) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) (- \cos (x)) - 3 \sin (x) (\sin (x) - \cos (x))$

Etapa 10.4.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) (- \cos (x)) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Etapa 10.4.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 10.4.13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.4.13.1.1

Multiplique $3 \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Etapa 10.4.13.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Etapa 10.4.13.1.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Etapa 10.4.13.1.1.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Etapa 10.4.13.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 {\cos (x)}^{1 + 1} - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Etapa 10.4.13.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Etapa 10.4.13.1.2

Multiplique $- 3 \sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 10.4.13.1.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Etapa 10.4.13.1.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Etapa 10.4.13.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Etapa 10.4.13.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) (- \cos (x))$

Etapa 10.4.13.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) \cos (x)$

Etapa 10.4.13.2

Reordene os fatores de $3 \sin (x) \cos (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 10.4.13.3

Some $3 \cos (x) \sin (x)$ e $3 \cos (x) \sin (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x)$

Etapa 10.4.14

Fatore $- 3$ de $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x)$

Etapa 10.4.15

Fatore $- 3$ de $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{2} (x)) - 3 (\sin^{2} (x))$

Etapa 10.4.16

Fatore $- 3$ de $- 3 (\cos^{2} (x)) - 3 (\sin^{2} (x))$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))$

Etapa 10.4.17

Reorganize os termos.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Etapa 10.4.18

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \cdot 1$

Etapa 10.4.19

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3$

Etapa 10.5

Combine os termos opostos em $6 \cos (x) \sin (x) + 3 + 6 \cos (x) \sin (x) - 3$ .

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Etapa 10.5.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) \sin (x) + 0$

Etapa 10.5.2

Some $6 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) \sin (x)$ e $0$ .

$6 \cos (x) \sin (x) + 6 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 10.6

Some $6 \cos (x) \sin (x)$ e $6 \cos (x) \sin (x)$ .

$12 \cos (x) \sin (x)$