Cálculo Exemplos

$y = 5 x^{\frac{2}{5}} - \frac{3}{x^{4}} + 6 \sqrt[3]{x^{2}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{\frac{2}{5}} - \frac{3}{x^{4}} + 6 \sqrt[3]{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{5}}]$ .

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Etapa 2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{\frac{2}{5}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{5}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 2.6.2

Subtraia $5$ de $2$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 (\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 2.8

Combine $\frac{2}{5}$ e $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$5 \frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 2.9

Combine $5$ e $\frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$ .

$\frac{5 (2 x^{- \frac{3}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 2.10

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{10 x^{- \frac{3}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 2.11

Mova $x^{- \frac{3}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{5 x^{\frac{3}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 2.12

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 x^{\frac{3}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 2.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.13.1

Fatore $5$ de $5 x^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (x^{\frac{3}{5}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 2.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot 2}{5 x^{\frac{3}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 2.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{x^{4}}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 3.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 3.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 3.7

Multiplique $x^{- 8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.7.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 3.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} - 3 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 3.8

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \sqrt[3]{x^{2}}]$ .

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 4.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Etapa 4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 4.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Etapa 4.7.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 4.9

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + 6 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 4.10

Combine $6$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{6 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Etapa 4.11

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{12 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 4.12

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{12}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.13

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.14.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 4.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 x^{- 5} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + 12 \frac{1}{x^{5}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 5.2

Combine $12$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + \frac{12}{x^{5}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$\frac{12}{x^{5}} + \frac{2}{x^{\frac{3}{5}}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$