Cálculo Exemplos

$y = 400 (15 - x^{2}) (3 x - 2)$

Etapa 1

Como $400$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $400 (15 - x^{2}) (3 x - 2)$ em relação a $x$ é $400 \frac{d}{d x} [(15 - x^{2}) (3 x - 2)]$ .

$400 \frac{d}{d x} [(15 - x^{2}) (3 x - 2)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 15 - x^{2}$ e $g (x) = 3 x - 2$ .

$400 ((15 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x - 2] + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$400 ((15 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$400 ((15 - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$400 ((15 - x^{2}) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Etapa 3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$400 ((15 - x^{2}) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Etapa 3.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$400 ((15 - x^{2}) (3 + 0) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $3$ e $0$ .

$400 ((15 - x^{2}) \cdot 3 + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Etapa 3.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $15 - x^{2}$ .

$400 (3 \cdot (15 - x^{2}) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [15 - x^{2}])$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Etapa 3.8

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Etapa 3.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (- (2 x)))$

Etapa 3.12

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$400 (3 (15 - x^{2}) + (3 x - 2) (- 2 x))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$400 (3 \cdot 15 + 3 (- x^{2}) + (3 x - 2) (- 2 x))$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$400 (3 \cdot 15 + 3 (- x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 2 (- 2 x))$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$400 (3 \cdot 15) + 400 (3 (- x^{2})) + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Etapa 4.4

Combine os termos.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $3$ por $15$ .

$400 \cdot 45 + 400 (3 (- x^{2})) + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Etapa 4.4.2

Multiplique $400$ por $45$ .

$18000 + 400 (3 (- x^{2})) + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Etapa 4.4.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$18000 + 400 (- 3 x^{2}) + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Etapa 4.4.4

Multiplique $- 3$ por $400$ .

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (3 x (- 2 x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Etapa 4.4.5

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 x \cdot x) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Etapa 4.4.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 (x^{1} x)) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Etapa 4.4.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 (x^{1} x^{1})) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Etapa 4.4.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 x^{1 + 1}) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Etapa 4.4.9

Some $1$ e $1$ .

$18000 - 1200 x^{2} + 400 (- 6 x^{2}) + 400 (- 2 (- 2 x))$

Etapa 4.4.10

Multiplique $- 6$ por $400$ .

$18000 - 1200 x^{2} - 2400 x^{2} + 400 (- 2 (- 2 x))$

Etapa 4.4.11

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$18000 - 1200 x^{2} - 2400 x^{2} + 400 (4 x)$

Etapa 4.4.12

Multiplique $4$ por $400$ .

$18000 - 1200 x^{2} - 2400 x^{2} + 1600 x$

Etapa 4.4.13

Subtraia $2400 x^{2}$ de $- 1200 x^{2}$ .

$18000 - 3600 x^{2} + 1600 x$

Etapa 4.5

Reordene os termos.

$- 3600 x^{2} + 1600 x + 18000$