Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 25}{3 x^{2} + 2 x - 1}$

Etapa 1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{- 25}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{3 + \frac{2 x}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} - \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} - \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{25}{x^{2}}}{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{25}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 2.6

Mova o termo $25$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 - 25 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 4.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{3 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{3 + 2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - 25 \cdot 0}{3 + 2 \cdot 0 - 0}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Multiplique $- 25$ por $0$ .

$\frac{1 + 0}{3 + 2 \cdot 0 - 0}$

Etapa 7.1.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{3 + 2 \cdot 0 - 0}$

Etapa 7.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{3 + 0 - 0}$

Etapa 7.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{3 + 0 + 0}$

Etapa 7.2.3

Some $3 + 0$ e $0$ .

$\frac{1}{3 + 0}$

Etapa 7.2.4

Some $3$ e $0$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$