Cálculo Exemplos

$x^{\frac{y}{z}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências generalizada, que determina que $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ é $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , em que $f = x$ e $g = \frac{y}{z}$ .

$\frac{d}{d y} [x] (\frac{y}{z} x^{\frac{y}{z} - 1}) + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{y}{z}$ e $x^{\frac{y}{z} - 1}$ .

$\frac{d}{d y} [x] \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Etapa 2.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Etapa 2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $0$ por $\frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Etapa 2.3.2

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Etapa 2.4

Como $\frac{1}{z}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y}{z}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Etapa 2.5

Combine frações.

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Etapa 2.5.1

Combine $x^{\frac{y}{z}}$ e $\frac{1}{z}$ .

$\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y] \ln (x)$

Etapa 2.5.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z}$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \cdot 1$

Etapa 2.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$

Etapa 2.7.2

Reordene os fatores em $\ln (x) x^{\frac{y}{z}}$ .

$\frac{x^{\frac{y}{z}} \ln (x)}{z}$