Cálculo Exemplos

$e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x y^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x y^{2}$ .

$e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Etapa 2.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y^{2}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$e^{x y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{x y^{2}} (x (2 y)) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Etapa 2.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = y + z$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y + z$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d y} [y + z]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d y} [y + z]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y + z$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \frac{d}{d y} [y + z]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + z$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + \frac{d}{d y} [z])$

Etapa 3.4

Como $z$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $z$ em relação a $y$ é $0$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + 0)$

Etapa 3.5

Some $1$ e $0$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \cdot 1$

Etapa 3.6

Multiplique $\frac{1}{y + z}$ por $1$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine os termos.

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Etapa 4.1.1

Para escrever $e^{x y^{2}} (2 x y)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y + z}{y + z}$ .

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z)}{y + z} + \frac{1}{y + z}$

Etapa 4.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z) + 1}{y + z}$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$\frac{2 e^{x y^{2}} x y (y + z) + 1}{y + z}$