Cálculo Exemplos

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4 \ln (3 x - 9)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

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Etapa 2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \ln (3 x - 9)$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x - 9$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Etapa 2.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Etapa 2.6

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Etapa 2.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Etapa 2.8

Some $3$ e $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Etapa 2.9

Combine $\frac{1}{3 x - 9}$ e $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

Etapa 2.10

Cancele o fator comum de $3$ e $3 x - 9$ .

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Etapa 2.10.1

Fatore $3$ de $3$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Etapa 2.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.10.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Etapa 2.10.2.2

Fatore $3$ de $- 9$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Etapa 2.10.2.3

Fatore $3$ de $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Etapa 2.10.2.4

Cancele o fator comum.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Etapa 2.10.2.5

Reescreva a expressão.

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

Etapa 2.11

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

Etapa 2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{4}{x - 3}$

Etapa 3

Combine os termos.

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Etapa 3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

Etapa 3.3

Subtraia $4$ de $- 3$ .

$\frac{x - 7}{x - 3}$