Cálculo Exemplos

${(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ é $f' (g (v)) g' (v)$ , em que $f (v) = v^{3}$ e $g (v) = v^{- 3} + 5 v^{- 2}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $v^{- 3} + 5 v^{- 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 5 v^{- 2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 5 v^{- 2}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v^{- 3} + 5 v^{- 2}$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 5 v^{- 2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $v^{- 3} + 5 v^{- 2}$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [v^{- 3}] + \frac{d}{d v} [5 v^{- 2}]$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (\frac{d}{d v} [v^{- 3}] + \frac{d}{d v} [5 v^{- 2}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + \frac{d}{d v} [5 v^{- 2}])$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d v} [5 v^{- 2}]$ .

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Etapa 3.1

Como $5$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $5 v^{- 2}$ em relação a $v$ é $5 \frac{d}{d v} [v^{- 2}]$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + 5 \frac{d}{d v} [v^{- 2}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + 5 (- 2 v^{- 3}))$

Etapa 3.3

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} - 10 v^{- 3})$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 10 v^{- 3} - 3 v^{- 4})$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- 10 \frac{1}{v^{3}} - 3 v^{- 4})$

Etapa 4.2.2

Combine $- 10$ e $\frac{1}{v^{3}}$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (\frac{- 10}{v^{3}} - 3 v^{- 4})$

Etapa 4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - 3 v^{- 4})$

Etapa 4.2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - 3 \frac{1}{v^{4}})$

Etapa 4.2.5

Combine $- 3$ e $\frac{1}{v^{4}}$ .

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} + \frac{- 3}{v^{4}})$

Etapa 4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 {(v^{- 3} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - \frac{3}{v^{4}})$

Etapa 5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 5 v^{- 2})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - \frac{3}{v^{4}})$

Etapa 6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 5 \frac{1}{v^{2}})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - \frac{3}{v^{4}})$

Etapa 7

Combine $5$ e $\frac{1}{v^{2}}$ .

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{5}{v^{2}})}^{2} (- \frac{10}{v^{3}} - \frac{3}{v^{4}})$