Cálculo Exemplos

$x = t {(3 t + 1)}^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (t {(3 t + 1)}^{2})$

Etapa 2

A derivada de $x$ em relação a $t$ é $x'$ .

$x'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva ${(3 t + 1)}^{2}$ como $(3 t + 1) (3 t + 1)$ .

$\frac{d}{d t} [t ((3 t + 1) (3 t + 1))]$

Etapa 3.2

Expanda $(3 t + 1) (3 t + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d t} [t (3 t (3 t + 1) + 1 (3 t + 1))]$

Etapa 3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d t} [t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 1 + 1 (3 t + 1))]$

Etapa 3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d t} [t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 1 + 1 (3 t) + 1 \cdot 1)]$

Etapa 3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d t} [t (3 \cdot 3 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + 1 (3 t) + 1 \cdot 1)]$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Mova $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (3 \cdot 3 (t \cdot t) + 3 t \cdot 1 + 1 (3 t) + 1 \cdot 1)]$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (3 \cdot 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + 1 (3 t) + 1 \cdot 1)]$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{d}{d t} [t (9 t^{2} + 3 t \cdot 1 + 1 (3 t) + 1 \cdot 1)]$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (9 t^{2} + 3 t + 1 (3 t) + 1 \cdot 1)]$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $3 t$ por $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (9 t^{2} + 3 t + 3 t + 1 \cdot 1)]$

Etapa 3.3.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (9 t^{2} + 3 t + 3 t + 1)]$

Etapa 3.3.2

Some $3 t$ e $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [t (9 t^{2} + 6 t + 1)]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = 9 t^{2} + 6 t + 1$ .

$t \frac{d}{d t} [9 t^{2} + 6 t + 1] + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 t^{2} + 6 t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$t (\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.2

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9 t^{2}$ em relação a $t$ é $9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t (9 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$t (9 (2 t) + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.4

Multiplique $2$ por $9$ .

$t (18 t + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.5

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6 t$ em relação a $t$ é $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (18 t + 6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$t (18 t + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.7

Multiplique $6$ por $1$ .

$t (18 t + 6 + \frac{d}{d t} [1]) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.8

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$t (18 t + 6 + 0) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.9

Some $18 t + 6$ e $0$ .

$t (18 t + 6) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$t (18 t + 6) + (9 t^{2} + 6 t + 1) \cdot 1$

Etapa 3.5.11

Multiplique $9 t^{2} + 6 t + 1$ por $1$ .

$t (18 t + 6) + 9 t^{2} + 6 t + 1$

Etapa 3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$t (18 t) + t \cdot 6 + 9 t^{2} + 6 t + 1$

Etapa 3.6.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$18 (t^{1} t) + t \cdot 6 + 9 t^{2} + 6 t + 1$

Etapa 3.6.2.2

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$18 (t^{1} t^{1}) + t \cdot 6 + 9 t^{2} + 6 t + 1$

Etapa 3.6.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$18 t^{1 + 1} + t \cdot 6 + 9 t^{2} + 6 t + 1$

Etapa 3.6.2.4

Some $1$ e $1$ .

$18 t^{2} + t \cdot 6 + 9 t^{2} + 6 t + 1$

Etapa 3.6.2.5

Mova $6$ para a esquerda de $t$ .

$18 t^{2} + 6 \cdot t + 9 t^{2} + 6 t + 1$

Etapa 3.6.2.6

Some $18 t^{2}$ e $9 t^{2}$ .

$27 t^{2} + 6 t + 6 t + 1$

Etapa 3.6.2.7

Some $6 t$ e $6 t$ .

$27 t^{2} + 12 t + 1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x' = 27 t^{2} + 12 t + 1$

Etapa 5

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = 27 t^{2} + 12 t + 1$