Cálculo Exemplos

$r = \frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d s} (r) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}})$

Etapa 2

A derivada de $r$ em relação a $s$ é $r'$ .

$r'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}}$ com relação a $s$ é $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $s$ , a derivada de $\frac{1}{2 s}$ em relação a $s$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{1}{s}$ como $s^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ é $n s^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- s^{- 2}) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $s^{- 2}$ .

$- \frac{s^{- 2}}{2} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Etapa 3.2.5

Mova $s^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- \frac{8}{5}$ é constante em relação a $s$ , a derivada de $- \frac{8}{5 s^{4}}$ em relação a $s$ é $- \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{1}{s^{4}}$ como ${(s^{4})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [{(s^{4})}^{- 1}]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ é $f' (g (s)) g' (s)$ , em que $f (s) = s^{- 1}$ e $g (s) = s^{4}$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $s^{4}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $s^{4}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- {(s^{4})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ é $n s^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- {(s^{4})}^{- 2} (4 s^{3}))$

Etapa 3.3.5

Multiplique os expoentes em ${(s^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- s^{4 \cdot - 2} (4 s^{3}))$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- s^{- 8} (4 s^{3}))$

Etapa 3.3.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{- 8} s^{3})$

Etapa 3.3.7

Multiplique $s^{- 8}$ por $s^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.7.1

Mova $s^{3}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 (s^{3} s^{- 8}))$

Etapa 3.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{3 - 8})$

Etapa 3.3.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{- 5})$

Etapa 3.3.8

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + 4 (\frac{8}{5}) s^{- 5}$

Etapa 3.3.9

Combine $4$ e $\frac{8}{5}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{4 \cdot 8}{5} s^{- 5}$

Etapa 3.3.10

Multiplique $4$ por $8$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5} s^{- 5}$

Etapa 3.3.11

Combine $\frac{32}{5}$ e $s^{- 5}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32 s^{- 5}}{5}$

Etapa 3.3.12

Mova $s^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$r' = - \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$

Etapa 5

Substitua $r'$ por $\frac{d r}{d s}$ .

$\frac{d r}{d s} = - \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$