Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x^{2} - 5 x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x] - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5 \cdot 1) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.4

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) + (- (3 x^{2}) - (- 5 x)) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Expanda $(x^{2} + 1) (6 x - 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (6 x - 5) + 1 (6 x - 5) - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x - 5) - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{6 x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.2.1

Mova $x$ .

$\frac{6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{6 x^{3} + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.3

Mova $- 5$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 \cdot x^{2} + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.4

Multiplique $6 x$ por $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.5

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 (x \cdot x^{2})) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 (x^{1} x^{2})) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 x^{1 + 2}) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 x^{3}) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 3 x^{3} \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.6.1

Mova $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} - (- 5 (x \cdot x)) \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} - (- 5 x^{2}) \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.7

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} + 5 x^{2} \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.8

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} + 10 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.2

Combine os termos opostos em $6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} + 10 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Subtraia $6 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 6 x - 5 + 0 + 10 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.2.2

Some $- 5 x^{2} + 6 x - 5$ e $0$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 6 x - 5 + 10 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.3.3

Some $- 5 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} + 6 x - 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$