Cálculo Exemplos

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.1.1.2

Multiplique $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 4.1.1.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.1.1.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.1.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.1.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.1.1.3

Multiplique $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 4.1.1.3.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.1.1.3.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.1.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.1.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.1.2

Fatore $- 1$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.1.3

Fatore $- 1$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.1.4

Fatore $- 1$ de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4.2.2

Converta de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ em $\csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$