Cálculo Exemplos

$\frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 6)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 3}$

Etapa 1.2

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 6}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 3) (x + 6)$ .

$\frac{(3 x - 1) (x - 3) (x + 6)}{(x - 3) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 x - 1) (x - 3) (x + 6)}{(x - 3) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(3 x - 1) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x + 6$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 x - 1) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.5.2

Divida $3 x - 1$ por $1$ .

$3 x - 1 = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$3 x - 1 = \frac{A (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $(A) (x + 6)$ por $1$ .

$3 x - 1 = (A) (x + 6) + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x - 1 = A x + A \cdot 6 + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.6.3

Mova $6$ para a esquerda de $A$ .

$3 x - 1 = A x + 6 \cdot A + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.6.4

Cancele o fator comum de $x + 6$ .

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Etapa 1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$3 x - 1 = A x + 6 A + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Etapa 1.6.4.2

Divida $(B) (x - 3)$ por $1$ .

$3 x - 1 = A x + 6 A + (B) (x - 3)$

Etapa 1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x - 1 = A x + 6 A + B x + B \cdot - 3$

Etapa 1.6.6

Mova $- 3$ para a esquerda de $B$ .

$3 x - 1 = A x + 6 A + B x - 3 B$

Etapa 1.7

Mova $6 A$ .

$3 x - 1 = A x + B x + 6 A - 3 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 1 = 6 A - 3 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$3 = A + B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

$3 = A + B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $3 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 3$ .

$A + B = 3$

$- 1 = 6 A - 3 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 3 - B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $3 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 1 = 6 A - 3 B$ por $3 - B$ .

$- 1 = 6 (3 - B) - 3 B$

$A = 3 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $6 (3 - B) - 3 B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 = 6 \cdot 3 + 6 (- B) - 3 B$

$A = 3 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $6$ por $3$ .

$- 1 = 18 + 6 (- B) - 3 B$

$A = 3 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- 1 = 18 - 6 B - 3 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 6 B - 3 B$

$A = 3 - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Subtraia $3 B$ de $- 6 B$ .

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $- 1 = 18 - 9 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $18 - 9 B = - 1$ .

$18 - 9 B = - 1$

$A = 3 - B$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $18$ dos dois lados da equação.

$- 9 B = - 1 - 18$

$A = 3 - B$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $18$ de $- 1$ .

$- 9 B = - 19$

$A = 3 - B$

$- 9 B = - 19$

$A = 3 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $- 9 B = - 19$ por $- 9$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $- 9 B = - 19$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 9$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{19}{9}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 3 - B$ por $\frac{19}{9}$ .

$A = 3 - (\frac{19}{9})$

$B = \frac{19}{9}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $3 - (\frac{19}{9})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$A = 3 \cdot \frac{9}{9} - \frac{19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Etapa 3.4.2.1.2

Combine $3$ e $\frac{9}{9}$ .

$A = \frac{3 \cdot 9}{9} - \frac{19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Etapa 3.4.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{3 \cdot 9 - 19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Etapa 3.4.2.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.2.1.4.1

Multiplique $3$ por $9$ .

$A = \frac{27 - 19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Etapa 3.4.2.1.4.2

Subtraia $19$ de $27$ .

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{8}{9}, B = \frac{19}{9}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 6}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{8}{9}}{x - 3} + \frac{\frac{19}{9}}{x + 6}$