Cálculo Exemplos

$(0.1 t + 1) \ln (\sqrt{t})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [(0.1 t + 1) \ln (t^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = 0.1 t + 1$ e $g (t) = \ln (t^{\frac{1}{2}})$ .

$(0.1 t + 1) \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{2}})] + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$(0.1 t + 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$(0.1 t + 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{\frac{1}{2}}$ .

$(0.1 t + 1) (\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 11

Multiplique $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 12

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 13

Simplifique o denominador.

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Etapa 13.1

Multiplique $t^{\frac{1}{2}}$ por $t^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.1.1

Mova $t^{\frac{1}{2}}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 13.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 13.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1 + 1}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 13.1.4

Some $1$ e $1$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{\frac{2}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 13.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{1}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 13.2

Simplifique $2 t^{1}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Etapa 14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $0.1 t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [0.1 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d t} [0.1 t] + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 15

Como $0.1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $0.1 t$ em relação a $t$ é $0.1 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (0.1 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (0.1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 17

Multiplique $0.1$ por $1$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (0.1 + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 18

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (0.1 + 0)$

Etapa 19

Simplifique a expressão.

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Etapa 19.1

Some $0.1$ e $0$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \cdot 0.1$

Etapa 19.2

Mova $0.1$ para a esquerda de $\ln (t^{\frac{1}{2}})$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + 0.1 \cdot \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Etapa 20

Simplifique.

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Etapa 20.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0.1 t \frac{1}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Etapa 20.2

Combine os termos.

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Etapa 20.2.1

Combine $0.1$ e $\frac{1}{2 t}$ .

$t \frac{0.1}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Etapa 20.2.2

Combine $t$ e $\frac{0.1}{2 t}$ .

$\frac{t \cdot 0.1}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Etapa 20.2.3

Mova $0.1$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{0.1 \cdot t}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Etapa 20.2.4

Cancele o fator comum de $t$ .

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Etapa 20.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.1 t}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Etapa 20.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{0.1}{2} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Etapa 20.2.5

Multiplique $\frac{1}{2 t}$ por $1$ .

$\frac{0.1}{2} + \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Etapa 20.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}}) + \frac{0.1}{2}$

Etapa 20.4

Divida $0.1$ por $2$ .

$\frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}}) + 0.05$