Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{s + k e^{s}}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{s + k e^{s}}$ como ${(s + k e^{s})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d s} [{(s + k e^{s})}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ é $f' (g (s)) g' (s)$ , em que $f (s) = s^{- 1}$ e $g (s) = s + k e^{s}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $s + k e^{s}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $s + k e^{s}$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $s + k e^{s}$ com relação a $s$ é $\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [k e^{s}]$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [k e^{s}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ é $n s^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d s} [k e^{s}])$

Etapa 3.3

Como $k$ é constante em relação a $s$ , a derivada de $k e^{s}$ em relação a $s$ é $k \frac{d}{d s} [e^{s}]$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + k \frac{d}{d s} [e^{s}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d s} [a^{s}]$ é $a^{s} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + k e^{s})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}} (1 + k e^{s})$

Etapa 5.2

Reordene os fatores de $- \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}} (1 + k e^{s})$ .

$- (1 + k e^{s}) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(- 1 \cdot 1 - (k e^{s})) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Etapa 5.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(- 1 - (k e^{s})) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Etapa 5.5

Multiplique $- 1 - k e^{s}$ por $\frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$ .

$\frac{- 1 - k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Etapa 5.6

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Etapa 5.7

Fatore $- 1$ de $- k e^{s}$ .

$\frac{- 1 (1) - (k e^{s})}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Etapa 5.8

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (k e^{s})$ .

$\frac{- 1 (1 + k e^{s})}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Etapa 5.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1 + k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$