Cálculo Exemplos

$\frac{\sin (q) + \cos (q)}{\sin (q)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ é $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ , em que $f (q) = \sin (q) + \cos (q)$ e $g (q) = \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) \frac{d}{d q} [\sin (q) + \cos (q)] - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (q) + \cos (q)$ com relação a $q$ é $\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]$ .

$\frac{\sin (q) (\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 3

A derivada de $\sin (q)$ em relação a $q$ é $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 4

A derivada de $\cos (q)$ em relação a $q$ é $- \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 5

A derivada de $\sin (q)$ em relação a $q$ é $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) + (- \sin (q) - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.1

Combine os termos opostos em $\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)$ .

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Etapa 6.4.1.1

Subtraia $\sin (q) \cos (q)$ de $\sin (q) \cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) + 0 - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.4.1.2

Some $\sin (q) (- \sin (q))$ e $0$ .

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- \sin (q) \sin (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.4.2.2

Multiplique $- \sin (q) \sin (q)$ .

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Etapa 6.4.2.2.1

Eleve $\sin (q)$ à potência de $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.4.2.2.2

Eleve $\sin (q)$ à potência de $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin^{1} (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.4.2.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- {\sin (q)}^{1 + 1} - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.4.2.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.4.2.3

Multiplique $- \cos (q) \cos (q)$ .

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Etapa 6.4.2.3.1

Eleve $\cos (q)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos (q))}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.4.2.3.2

Eleve $\cos (q)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos^{1} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.4.2.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \sin^{2} (q) - {\cos (q)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.4.2.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.4.3

Fatore $- 1$ de $- \sin^{2} (q)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.4.4

Fatore $- 1$ de $- \cos^{2} (q)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.4.5

Fatore $- 1$ de $- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.4.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.4.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.5

Combine os termos.

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Etapa 6.5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{\sin^{2} (q)}$

Etapa 6.5.2

Converta de $\frac{1}{\sin^{2} (q)}$ em $\csc^{2} (q)$ .

$- \csc^{2} (q)$