Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{8} \sqrt{5 - 3 x}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 - 3 x}$ como ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 5 - 3 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 - 3 x$ .

$x^{8} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - 3 x$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{8} (\frac{{(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 8.3

Mova ${(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{8} (\frac{1}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 8.4

Combine $\frac{1}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{8}$ .

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 10

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 12

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 13

Combine frações.

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Etapa 13.1

Combine $- 3$ e $\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 13.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 15

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Etapa 16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (8 x^{7})$

Etapa 17

Reordene.

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Etapa 17.1

Mova $8$ para a esquerda de ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + 8 \cdot {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} x^{7}$

Etapa 17.2

Mova ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 18

Para escrever $8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19

Combine $8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 x^{8} + 8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22

Multiplique ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 22.1

Mova ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} ({(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{1}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23

Simplifique $16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{1}$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} (- 3 x + 5)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24

Simplifique.

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Etapa 24.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} (- 3 x) + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 24.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 24.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 x^{7} x + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.1.2

Multiplique $x^{7}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 24.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 (x \cdot x^{7}) + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{7}$ .

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Etapa 24.2.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 (x^{1} x^{7}) + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 x^{1 + 7} + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.1.2.3

Some $1$ e $7$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 x^{8} + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.1.3

Multiplique $16$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{8} - 48 x^{8} + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.1.4

Multiplique $5$ por $16$ .

$\frac{- 3 x^{8} - 48 x^{8} + 80 x^{7}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.2

Subtraia $48 x^{8}$ de $- 3 x^{8}$ .

$\frac{- 51 x^{8} + 80 x^{7}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.3

Fatore $x^{7}$ de $- 51 x^{8} + 80 x^{7}$ .

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Etapa 24.3.1

Fatore $x^{7}$ de $- 51 x^{8}$ .

$\frac{x^{7} (- 51 x) + 80 x^{7}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.3.2

Fatore $x^{7}$ de $80 x^{7}$ .

$\frac{x^{7} (- 51 x) + x^{7} \cdot 80}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.3.3

Fatore $x^{7}$ de $x^{7} (- 51 x) + x^{7} \cdot 80$ .

$\frac{x^{7} (- 51 x + 80)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.4

Fatore $- 1$ de $- 51 x$ .

$\frac{x^{7} (- (51 x) + 80)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.5

Reescreva $80$ como $- 1 (- 80)$ .

$\frac{x^{7} (- (51 x) - 1 (- 80))}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.6

Fatore $- 1$ de $- (51 x) - 1 (- 80)$ .

$\frac{x^{7} (- (51 x - 80))}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.7

Reescreva $- (51 x - 80)$ como $- 1 (51 x - 80)$ .

$\frac{x^{7} (- 1 (51 x - 80))}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{7} (51 x - 80)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$