Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{d + k e^{d}}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{d + k e^{d}}$ como ${(d + k e^{d})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d \cdot d} [{(d + k e^{d})}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d \cdot d} [f (g (d))]$ é $f' (g (d)) g' (d)$ , em que $f (d) = d^{- 1}$ e $g (d) = d + k e^{d}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $d + k e^{d}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d \cdot d} [d + k e^{d}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d \cdot d} [d + k e^{d}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $d + k e^{d}$ .

$- {(d + k e^{d})}^{- 2} \frac{d}{d \cdot d} [d + k e^{d}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $d + k e^{d}$ com relação a $d$ é $\frac{d}{d \cdot d} [d] + \frac{d}{d \cdot d} [k e^{d}]$ .

$- {(d + k e^{d})}^{- 2} (\frac{d}{d \cdot d} [d] + \frac{d}{d \cdot d} [k e^{d}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d \cdot d} [d^{n}]$ é $n d^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(d + k e^{d})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d \cdot d} [k e^{d}])$

Etapa 3.3

Como $k$ é constante em relação a $d$ , a derivada de $k e^{d}$ em relação a $d$ é $k \frac{d}{d \cdot d} [e^{d}]$ .

$- {(d + k e^{d})}^{- 2} (1 + k \frac{d}{d \cdot d} [e^{d}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d \cdot d} [a^{d}]$ é $a^{d} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- {(d + k e^{d})}^{- 2} (1 + k e^{d})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}} (1 + k e^{d})$

Etapa 5.2

Reordene os fatores de $- \frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}} (1 + k e^{d})$ .

$- (1 + k e^{d}) \frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(- 1 \cdot 1 - (k e^{d})) \frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Etapa 5.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(- 1 - (k e^{d})) \frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Etapa 5.5

Multiplique $- 1 - k e^{d}$ por $\frac{1}{{(d + k e^{d})}^{2}}$ .

$\frac{- 1 - k e^{d}}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Etapa 5.6

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - k e^{d}}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Etapa 5.7

Fatore $- 1$ de $- k e^{d}$ .

$\frac{- 1 (1) - (k e^{d})}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Etapa 5.8

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (k e^{d})$ .

$\frac{- 1 (1 + k e^{d})}{{(d + k e^{d})}^{2}}$

Etapa 5.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1 + k e^{d}}{{(d + k e^{d})}^{2}}$