Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (x) \csc (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \cos (x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Etapa 4.2.2

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Etapa 4.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Etapa 4.2.3.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Etapa 4.2.3.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Etapa 4.2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Etapa 4.2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 4.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ para o numerador.

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Etapa 4.2.4.2

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Etapa 4.2.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Etapa 4.2.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

Etapa 4.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

Etapa 4.2.6

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 4.2.7

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 4.3

Some $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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