Cálculo Exemplos

$g (x) = \sqrt[3]{x^{5} + 6 x}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{5} + 6 x}$ como ${(x^{5} + 6 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{5} + 6 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{5} + 6 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{5} + 6 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{5} + 6 x$ .

$\frac{1}{3} {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Etapa 6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} {(x^{5} + 6 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x^{5} + 6 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{5} + 6 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Etapa 7.3

Mova ${(x^{5} + 6 x)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 6 x]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} + 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [6 x])$

Etapa 10

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}} (5 x^{4} + 6 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}} (5 x^{4} + 6 \cdot 1)$

Etapa 12

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}} (5 x^{4} + 6)$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}} (5 x^{4} + 6)$ .

$(5 x^{4} + 6) \frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 13.2

Multiplique $5 x^{4} + 6$ por $\frac{1}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{5 x^{4} + 6}{3 {(x^{5} + 6 x)}^{\frac{2}{3}}}$