Cálculo Exemplos

$h (x) = \frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{5 x}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{5 x}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{x}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x^{2} - 2 e^{x}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 e^{x}] - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 2 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 e^{x}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 5.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{x^{2}}$

Etapa 5.2.2

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{x^{2}}$ .

$\frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (6 x) + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (6 x) + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{6 x \cdot x + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{6 x^{2} + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

Etapa 6.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{6 x^{2} - 2 x e^{x} - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

Etapa 6.3.1.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x e^{x} - 3 x^{2} - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

Etapa 6.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x e^{x} - 3 x^{2} + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$

Etapa 6.3.2

Subtraia $3 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$

Etapa 6.4

Reordene os termos.

$\frac{3 x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$

Etapa 6.5

Reordene os fatores em $\frac{3 x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$