Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{9} \ln (4 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{9}$ e $g (x) = \ln (4 x)$ .

$x^{9} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$x^{9} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$x^{9} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$x^{9} (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{4 x}$ e $x^{9}$ .

$\frac{x^{9}}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $x^{9}$ e $x$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $x$ de $x^{9}$ .

$\frac{x \cdot x^{8}}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $x$ de $4 x$ .

$\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{8}}{4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{8}}{4} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 3.4.1

Combine $4$ e $\frac{x^{8}}{4}$ .

$\frac{4 x^{8}}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{8}}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 3.4.2.2

Divida $x^{8}$ por $1$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{8} \cdot 1 + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 3.6

Multiplique $x^{8}$ por $1$ .

$x^{8} + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$x^{8} + \ln (4 x) (9 x^{8})$

Etapa 3.8

Reordene os termos.

$x^{8} + 9 x^{8} \ln (4 x)$