Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4} + 27$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Etapa 2.3

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Etapa 2.4

Combine frações.

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Etapa 2.4.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Etapa 2.4.2

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Etapa 2.4.3

Combine $\frac{4}{x^{4} + 27}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$