Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (e^{x^{2}} + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{x^{2}} + 1$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{x^{2}} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{x^{2}} + 1$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x^{2}} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + 0)$

Etapa 4.3

Combine frações.

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Etapa 4.3.1

Some $e^{x^{2}} (2 x)$ e $0$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x))$

Etapa 4.3.2

Combine $e^{x^{2}}$ e $\frac{1}{e^{x^{2}} + 1}$ .

$\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} (2 x)$

Etapa 4.3.3

Combine $2$ e $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ .

$\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} x$

Etapa 4.3.4

Combine $\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ e $x$ .

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2}} x$ .

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$

Etapa 5.2

Reordene os termos.

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

Etapa 5.3

Reordene os fatores em $\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$ .

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$