Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{25 + x} - 5}{x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{25 + x} - 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{25 + x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 25 + x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 25 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $25$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{25 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{25 + lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{25 + 0} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Some $25$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{25 + x} - 5}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{25 + x} - 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{25 + x} - 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{25 + x} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{25 + x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{25 + x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{25 + x}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{25 + x}$ como ${(25 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(25 + x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 25 + x$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $25 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 + x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 + x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $25 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 + x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $25 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.11

Some $0$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(25 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(25 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(25 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.13

Multiplique $\frac{{(25 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(25 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.14

Mova ${(25 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(25 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(25 + x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5

Some $\frac{1}{2 {(25 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(25 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(25 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(25 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.5

Reescreva ${(25 + x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{25 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{25 + x}} \cdot 1$

Etapa 1.6

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{25 + x}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{25 + x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{25 + x}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{25 + x}}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{25 + x}}$

Etapa 2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 25 + x}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 25 + lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $25$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{25 + lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{25 + 0}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.1

Some $25$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{25}}$

Etapa 4.1.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Etapa 4.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Etapa 4.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{1}{10}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{10}$

Forma decimal:

$0.1$