Cálculo Exemplos

$e^{x} - e^{y} = x - y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (e^{x} - e^{y}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - e^{y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{y}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$e^{x} - (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x} - e^{y} y'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$- e^{y} y' + e^{x}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- e^{y} y' + e^{x} = 1 - y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reordene os fatores em $- e^{y} y' + e^{x}$ .

$- y' e^{y} + e^{x} = 1 - y'$

Etapa 5.2

Some $y'$ aos dois lados da equação.

$- y' e^{y} + e^{x} + y' = 1$

Etapa 5.3

Subtraia $e^{x}$ dos dois lados da equação.

$- y' e^{y} + y' = 1 - e^{x}$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $- y' e^{y} + y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $- y' e^{y}$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

Etapa 5.4.2

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1 = 1 - e^{x}$

Etapa 5.4.4

Fatore $y'$ de $y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 1 e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

Etapa 5.5

Reescreva $- 1 e^{y}$ como $- e^{y}$ .

$y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ por $- e^{y} + 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ por $- e^{y} + 1$ .

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $- e^{y} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Etapa 5.6.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Etapa 5.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} - \frac{e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Etapa 5.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Etapa 5.6.3.3

Fatore $- 1$ de $- e^{y}$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) + 1}$

Etapa 5.6.3.4

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) - 1 (- 1)}$

Etapa 5.6.3.5

Fatore $- 1$ de $- (e^{y}) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y} - 1)}$

Etapa 5.6.3.6

Reescreva os negativos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.6.1

Reescreva $- (e^{y} - 1)$ como $- 1 (e^{y} - 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- 1 (e^{y} - 1)}$

Etapa 5.6.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$