Cálculo Exemplos

$5 y^{2} - 8 x^{4} + 3 = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (5 y^{2} - 8 x^{4} + 3) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 y^{2} - 8 x^{4} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 y^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$10 y y' - 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$10 y y' - 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 y y' - 32 x^{3} + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Some $10 y y' - 32 x^{3}$ e $0$ .

$10 y y' - 32 x^{3}$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$- 32 x^{3} + 10 y y'$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 32 x^{3} + 10 y y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Some $32 x^{3}$ aos dois lados da equação.

$10 y y' = 32 x^{3}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $10 y y' = 32 x^{3}$ por $10 y$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $10 y y' = 32 x^{3}$ por $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $32$ e $10$ .

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Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $32 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{10 y}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $10 y$ .

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{2 (5 y)}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{2 (5 y)}$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{16 x^{3}}{5 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{16 x^{3}}{5 y}$