Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{4} (2 x^{2} - 1)$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4} (2 x^{2} - 1)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4} (2 x^{2} - 1)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4} (2 x^{2} - 1)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 2 x^{2} - 1$ .

$3 (x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1] + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (x^{4} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x^{4} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (x^{4} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 (x^{4} (4 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x^{4} (4 x + 0) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.6

Some $4 x$ e $0$ .

$3 (x^{4} (4 x) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 4

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $x$ .

$3 (x \cdot x^{4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 4.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

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Etapa 4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 (x^{1} x^{4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (x^{1 + 4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 4.3

Some $1$ e $4$ .

$3 (x^{5} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 5

Mova $4$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$3 (4 \cdot x^{5} + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (4 x^{5} + (2 x^{2} - 1) (4 x^{3}))$

Etapa 7

Mova $4$ para a esquerda de $2 x^{2} - 1$ .

$3 (4 x^{5} + 4 \cdot (2 x^{2} - 1) x^{3})$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (4 x^{5} + (4 (2 x^{2}) + 4 \cdot - 1) x^{3})$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (4 x^{5} + 4 (2 x^{2}) x^{3} + 4 \cdot - 1 x^{3})$

Etapa 8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (4 x^{5}) + 3 (4 (2 x^{2}) x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Etapa 8.4

Combine os termos.

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Etapa 8.4.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{5} + 3 (4 (2 x^{2}) x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Etapa 8.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$12 x^{5} + 3 (8 x^{2} x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Etapa 8.4.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.3.1

Mova $x^{3}$ .

$12 x^{5} + 3 (8 (x^{3} x^{2})) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Etapa 8.4.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 x^{5} + 3 (8 x^{3 + 2}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Etapa 8.4.3.3

Some $3$ e $2$ .

$12 x^{5} + 3 (8 x^{5}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Etapa 8.4.4

Multiplique $8$ por $3$ .

$12 x^{5} + 24 x^{5} + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Etapa 8.4.5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$12 x^{5} + 24 x^{5} + 3 (- 4 x^{3})$

Etapa 8.4.6

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$12 x^{5} + 24 x^{5} - 12 x^{3}$

Etapa 8.4.7

Some $12 x^{5}$ e $24 x^{5}$ .

$36 x^{5} - 12 x^{3}$