Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{\frac{1}{4 x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{1}{4 x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{4 x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{4 x}$ .

$e^{\frac{1}{4 x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4 x}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{\frac{1}{4 x}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 2.2

Combine frações.

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Etapa 2.2.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{\frac{1}{4 x}}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4} (- x^{- 2})$

Etapa 2.4

Combine frações.

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Etapa 2.4.1

Combine $\frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4}$ e $x^{- 2}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{4 x}} x^{- 2}}{4}$

Etapa 2.4.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4 x^{2}}$