Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 1}{x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1] - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1] - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1] - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.6

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.8

Some $2 x - 3$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 1) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.10

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1) x}{x^{4}}$

Etapa 2.10.2

Fatore $x$ de $x^{2} (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1) x$ .

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Etapa 2.10.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (2 x - 3)$ .

$\frac{x (x (2 x - 3)) - 2 (x^{2} - 3 x + 1) x}{x^{4}}$

Etapa 2.10.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (x^{2} - 3 x + 1) x$ .

$\frac{x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x^{4}}$

Etapa 2.10.2.3

Fatore $x$ de $x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} - 3 x + 1))$ .

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x^{4}}$

Etapa 3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1)}{x^{3}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (x^{2} - 3 x + 1)}{x^{3}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 6 x - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 6 x - 2}{x^{3}}$

Etapa 4.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 6 x - 2$ .

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Etapa 4.3.2.1

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x + 0 + 6 x - 2}{x^{3}}$

Etapa 4.3.2.2

Some $- 3 x$ e $0$ .

$\frac{- 3 x + 6 x - 2}{x^{3}}$

Etapa 4.3.3

Some $- 3 x$ e $6 x$ .

$\frac{3 x - 2}{x^{3}}$