Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{(x + 5) (x^{2} + 5)}{x - 8}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = (x + 5) (x^{2} + 5)$ e $g (x) = x - 8$ .

$\frac{(x - 8) \frac{d}{d x} [(x + 5) (x^{2} + 5)] - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 5$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

$\frac{(x - 8) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5] + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 3.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (2 x + 0) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (2 x) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x + 5$ .

$\frac{(x - 8) (2 \cdot (x + 5) x + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 3.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) (1 + 0)) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) \cdot 1) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $x^{2} + 5$ por $1$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 3.11

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 3.12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 3.12.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 8) ((2 x + 2 \cdot 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 8) (2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 8) (2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x \cdot x) + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{(x - 8) (2 x^{2} + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.1.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{(x - 8) (2 x^{2} + 10 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.2

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{(x - 8) (3 x^{2} + 10 x + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.3

Expanda $(x - 8) (3 x^{2} + 10 x + 5)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.4.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.4.4.1

Mova $x$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4.5

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 \cdot x - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4.6

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x - 24 x^{2} - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4.7

Multiplique $10$ por $- 8$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x - 24 x^{2} - 80 x - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4.8

Multiplique $- 8$ por $5$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x - 24 x^{2} - 80 x - 40 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.5

Subtraia $24 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} + 5 x - 80 x - 40 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.6

Subtraia $80 x$ de $5 x$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.7

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 + (- x - 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.8

Expanda $(- x - 5) (x^{2} + 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x (x^{2} + 5) - 5 (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x \cdot x^{2} - x \cdot 5 - 5 (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x \cdot x^{2} - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.9.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.9.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - (x^{2} x) - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.9.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.9.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.9.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{2 + 1} - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.9.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{3} - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.9.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{3} - 5 x - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.9.3

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{3} - 5 x - 5 x^{2} - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Subtraia $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - 5 x - 5 x^{2} - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.3

Subtraia $5 x^{2}$ de $- 14 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} - 75 x - 40 - 5 x - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.4

Subtraia $5 x$ de $- 75 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} - 80 x - 40 - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

Etapa 4.4.5

Subtraia $25$ de $- 40$ .

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} - 80 x - 65}{{(x - 8)}^{2}}$