Cálculo Exemplos

$f (x) = (6 x + 5) (x^{3} - 2)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 6 x + 5$ e $g (x) = x^{3} - 2$ .

$(6 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(6 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Etapa 2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Etapa 2.4.2

Mova $3$ para a esquerda de $6 x + 5$ .

$3 \cdot (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 2.6

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 2.8

Multiplique $6$ por $1$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 2.9

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + 0)$

Etapa 2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.10.1

Some $6$ e $0$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \cdot 6$

Etapa 2.10.2

Mova $6$ para a esquerda de $x^{3} - 2$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + 6 \cdot (x^{3} - 2)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 (6 x) + 3 \cdot 5) x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Etapa 3.4

Combine os termos.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$18 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Etapa 3.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.2.1

Mova $x^{2}$ .

$18 (x^{2} x) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$18 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Etapa 3.4.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$18 x^{2 + 1} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Etapa 3.4.2.3

Some $2$ e $1$ .

$18 x^{3} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Etapa 3.4.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Etapa 3.4.4

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} - 12$

Etapa 3.4.5

Some $18 x^{3}$ e $6 x^{3}$ .

$24 x^{3} + 15 x^{2} - 12$