Cálculo Exemplos

$x^{2} (120 - x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 120 - x$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [120 - x] + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $120 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [120] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [120] + \frac{d}{d x} [- x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

Como $120$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $120$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (- 1 \cdot 1) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{2} \cdot - 1 + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$- 1 \cdot x^{2} + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.6.3

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$- x^{2} + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- x^{2} + (120 - x) (2 x)$

Etapa 2.8

Mova $2$ para a esquerda de $120 - x$ .

$- x^{2} + 2 \cdot (120 - x) x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} + (2 \cdot 120 + 2 (- x)) x$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} + 2 \cdot 120 x + 2 (- x) x$

Etapa 3.3

Combine os termos.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $2$ por $120$ .

$- x^{2} + 240 x + 2 (- x) x$

Etapa 3.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 x \cdot x$

Etapa 3.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 (x^{1} x)$

Etapa 3.3.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 (x^{1} x^{1})$

Etapa 3.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- x^{2} + 240 x - 2 x^{1 + 1}$

Etapa 3.3.6

Some $1$ e $1$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 x^{2}$

Etapa 3.3.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 240 x$