Cálculo Exemplos

$x^{2} \ln (2 x + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 1$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{2 x + 1}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.7

Combine frações.

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Etapa 3.7.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.7.2

Combine $\frac{x^{2}}{2 x + 1}$ e $2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.7.3

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2}}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) (2 x)$

Etapa 4

Para escrever $\ln (2 x + 1) (2 x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x^{2} + \ln (2 x + 1) (2 x) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln (2 x + 1) x (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 6.1.2

Simplifique $2 \ln (2 x + 1)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x (2 x) + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot 1}{2 x + 1}$

Etapa 6.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot 1}{2 x + 1}$

Etapa 6.1.5

Multiplique $\ln ({(2 x + 1)}^{2})$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot x + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Etapa 6.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.6.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.6.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) (x \cdot x) + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Etapa 6.1.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Etapa 6.1.6.2

Simplifique $2 \ln ({(2 x + 1)}^{2})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{2 x^{2} + \ln ({({(2 x + 1)}^{2})}^{2}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Etapa 6.1.6.3

Multiplique os expoentes em ${({(2 x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 6.1.6.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{2 \cdot 2}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Etapa 6.1.6.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{4}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{4}) x^{2} + x \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Etapa 6.2

Reordene os fatores em $2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{4}) x^{2} + x \ln ({(2 x + 1)}^{2})$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} \ln ({(2 x + 1)}^{4}) + x \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$