Cálculo Exemplos

$x^{2} \sin (x) \tan (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} \sin (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$x^{2} \sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Etapa 2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x)) + \tan (x) (\sin (x) (2 x))$

Etapa 6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) x^{2} \cos (x) + \tan (x) \sin (x) (2 x)$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$x^{2} \sec^{2} (x) \sin (x) + x^{2} \cos (x) \tan (x) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 6.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$x^{2} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + x^{2} \cos (x) \tan (x) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 6.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$x^{2} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + x^{2} \cos (x) \tan (x) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 6.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$x^{2} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + x^{2} \cos (x) \tan (x) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 6.4.4

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{x^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + x^{2} \cos (x) \tan (x) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 6.4.5

Combine $\frac{x^{2}}{\cos^{2} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \cos (x) \tan (x) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 6.4.6

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.4.6.1

Adicione parênteses.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} (\cos (x) \tan (x)) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 6.4.6.2

Reordene $\cos (x)$ e $\tan (x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} (\tan (x) \cos (x)) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 6.4.6.3

Reescreva $x^{2} \cos (x) \tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 6.4.6.4

Cancele os fatores comuns.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + 2 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 6.4.7

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + 2 x \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.4.8

Multiplique $2 x \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 6.4.8.1

Combine $2$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + x \sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.4.8.2

Combine $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ e $x$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + \frac{2 \sin (x) x}{\cos (x)} \sin (x)$

Etapa 6.4.8.3

Combine $\frac{2 \sin (x) x}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + \frac{2 \sin (x) x \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.4.8.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

Etapa 6.4.8.5

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)}$

Etapa 6.4.8.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Etapa 6.4.8.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.5.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.5.2

Separe as frações.

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.5.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.5.4

Separe as frações.

$\frac{x^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.5.5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{x^{2}}{1} \sec (x) \tan (x) + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.5.6

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.5.7

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

Etapa 6.5.8

Separe as frações.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.5.9

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + x^{2} \sin (x) + \frac{2 x (\sin (x))}{1} \tan (x)$

Etapa 6.5.10

Divida $2 x (\sin (x))$ por $1$ .

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + x^{2} \sin (x) + 2 x (\sin (x)) \tan (x)$