Cálculo Exemplos

$y^{4} = x^{9}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{4}) = \frac{d}{d x} (x^{9})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 y^{3} y'$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$9 x^{8}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$4 y^{3} y' = 9 x^{8}$

Etapa 5

Divida cada termo em $4 y^{3} y' = 9 x^{8}$ por $4 y^{3}$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $4 y^{3} y' = 9 x^{8}$ por $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{9 x^{8}}{4 y^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{9 x^{8}}{4 y^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{9 x^{8}}{4 y^{3}}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{9 x^{8}}{4 y^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{9 x^{8}}{4 y^{3}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{8}}{4 y^{3}}$