Cálculo Exemplos

$\frac{x - 2}{x^{2} + 4 x - 12}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 2$ e $g (x) = x^{2} + 4 x - 12$ .

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $x^{2} + 4 x - 12$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4 x - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 2.9

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 2.10

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 + 0)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 2.11

Some $2 x + 4$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 + (- x - - 2) (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 + (- x + 2) (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Expanda $(- x + 2) (2 x + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - x (2 x + 4) + 2 (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - x (2 x) - x \cdot 4 + 2 (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - x (2 x) - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - 4 x + 4 x + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.6

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - 4 x + 4 x + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.2

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} + 0 + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.3

Some $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 12 + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $- 12$ e $8$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ e cuja soma é $b = 4$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 (x) - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$\frac{- x^{2} + (2 + 2) x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- x + 2) - 2 (- x + 2)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 2$ .

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.1

Fatore $x^{2} + 4 x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 3.4.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $4$ .

$- 2, 6$

Etapa 3.4.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{((x - 2) (x + 6))}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Aplique a regra do produto a $(x - 2) (x + 6)$ .

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Etapa 3.5.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Etapa 3.5.4

Reescreva $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Etapa 3.5.5

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Etapa 3.5.6

Eleve $x - 2$ à potência de $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Etapa 3.5.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Etapa 3.5.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Etapa 3.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{{(x + 6)}^{2}}$