Cálculo Exemplos

$\frac{x - 1}{e^{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{e^{x} (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{e^{x} - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - (x - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x} + (- x - - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x} - x e^{x} - - 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x} + 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x} + e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.3.2

Some $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$\frac{- x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

$\frac{- e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.5

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x} x + 2 e^{x}$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Etapa 4.5.2

Fatore $e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{e^{2 x}}$

Etapa 4.5.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (- x + 2)}{e^{2 x}}$

Etapa 4.6

Cancele o fator comum de $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Etapa 4.6.1

Fatore $e^{2 x}$ de $e^{x} (- x + 2)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x}}$

Etapa 4.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.6.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 4.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{- x} (- x + 2)}{1}$

Etapa 4.6.2.4

Divida $e^{- x} (- x + 2)$ por $1$ .

$e^{- x} (- x + 2)$

Etapa 4.7

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 2$

Etapa 4.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 2$

Etapa 4.9

Mova $2$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$- e^{- x} x + 2 \cdot e^{- x}$

Etapa 4.10

Reordene os fatores em $- e^{- x} x + 2 e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + 2 e^{- x}$