Cálculo Exemplos

$\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $x^{2} + y^{2}$ por $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 7

Some $1$ e $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y \frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 9

Combine $y$ e $\frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{y (- x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y (- x^{2}) + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- y x^{2} + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 10.2.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{- y x^{2} + y^{1} y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 10.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- y x^{2} + y^{1 + 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 10.2.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- y x^{2} + y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 10.3

Reordene os termos.

$\frac{y^{3} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 10.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Fatore $y$ de $y^{3} - x^{2} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1.1

Fatore $y$ de $y^{3}$ .

$\frac{y \cdot y^{2} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 10.4.1.2

Fatore $y$ de $- x^{2} y$ .

$\frac{y \cdot y^{2} + y (- x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 10.4.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot y^{2} + y (- x^{2})$ .

$\frac{y (y^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Etapa 10.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = x$ .

$\frac{y (y + x) (y - x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$