Cálculo Exemplos

$\frac{x - 5}{x^{2} - 3 x + 15}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 5$ e $g (x) = x^{2} - 3 x + 15$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 15) \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $x^{2} - 3 x + 15$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 15]}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x + 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.9

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [15])}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.10

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 2.11

Some $2 x - 3$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - (x - 5) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 + (- x - - 5) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 + (- x + 5) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Expanda $(- x + 5) (2 x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 5 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 3 x + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 3 x + 10 x + 5 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.6

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 3 x + 10 x - 15}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.2

Some $3 x$ e $10 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 13 x - 15}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Combine os termos opostos em $x^{2} - 3 x + 15 - 2 x^{2} + 13 x - 15$ .

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia $15$ de $15$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 13 x + 0}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Some $x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 13 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 13 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 13 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Some $- 3 x$ e $13 x$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.3

Fatore $x$ de $- x^{2} + 10 x$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 10 x}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Fatore $x$ de $10 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 10}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Fatore $x$ de $x (- x) + x \cdot 10$ .

$\frac{x (- x + 10)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 10)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.5

Reescreva $10$ como $- 1 (- 10)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 10))}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{x (- (x - 10))}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.7

Reescreva $- (x - 10)$ como $- 1 (x - 10)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 10))}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$

Etapa 3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x (x - 10)}{{(x^{2} - 3 x + 15)}^{2}}$