Cálculo Exemplos

$x e^{- 9 x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 9 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 9 x}] + e^{- 9 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 9 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 9 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 9 x]) + e^{- 9 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 9 x]) + e^{- 9 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 9 x$ .

$x (e^{- 9 x} \frac{d}{d x} [- 9 x]) + e^{- 9 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- 9 x} (- 9 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 9 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (e^{- 9 x} (- 9 \cdot 1)) + e^{- 9 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$x (e^{- 9 x} \cdot - 9) + e^{- 9 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Mova $- 9$ para a esquerda de $e^{- 9 x}$ .

$x (- 9 \cdot e^{- 9 x}) + e^{- 9 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- 9 e^{- 9 x}) + e^{- 9 x} \cdot 1$

Etapa 3.5

Multiplique $e^{- 9 x}$ por $1$ .

$x (- 9 e^{- 9 x}) + e^{- 9 x}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$- 9 e^{- 9 x} x + e^{- 9 x}$

Etapa 4.2

Reordene os fatores em $- 9 e^{- 9 x} x + e^{- 9 x}$ .

$- 9 x e^{- 9 x} + e^{- 9 x}$