Cálculo Exemplos

$10 x {(x^{2} + 4)}^{4}$

Etapa 1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x {(x^{2} + 4)}^{4}$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 4)}^{4}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 4)}^{4}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{4}] + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 4$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$10 (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 4$ .

$10 (x (4 {(x^{2} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$10 (x (4 {(x^{2} + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$10 (x (4 {(x^{2} + 4)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [4])) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 (x (4 {(x^{2} + 4)}^{3} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$10 (x (4 {(x^{2} + 4)}^{3} (2 x)) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$10 (x (8 {(x^{2} + 4)}^{3} x) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 (x^{1} x (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$10 (x^{1} x^{1} (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10 (x^{1 + 1} (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Some $1$ e $1$ .

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4} \cdot 1)$

Etapa 10

Multiplique ${(x^{2} + 4)}^{4}$ por $1$ .

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4})$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} + 4)}^{3})) + 10 {(x^{2} + 4)}^{4}$

Etapa 11.2

Multiplique $8$ por $10$ .

$80 (x^{2} ({(x^{2} + 4)}^{3})) + 10 {(x^{2} + 4)}^{4}$

Etapa 11.3

Fatore $10 {(x^{2} + 4)}^{3}$ de $80 x^{2} {(x^{2} + 4)}^{3} + 10 {(x^{2} + 4)}^{4}$ .

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Etapa 11.3.1

Fatore $10 {(x^{2} + 4)}^{3}$ de $80 x^{2} {(x^{2} + 4)}^{3}$ .

$10 {(x^{2} + 4)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} + 4)}^{4}$

Etapa 11.3.2

Fatore $10 {(x^{2} + 4)}^{3}$ de $10 {(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$10 {(x^{2} + 4)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} + 4)}^{3} (x^{2} + 4)$

Etapa 11.3.3

Fatore $10 {(x^{2} + 4)}^{3}$ de $10 {(x^{2} + 4)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} + 4)}^{3} (x^{2} + 4)$ .

$10 {(x^{2} + 4)}^{3} (8 x^{2} + x^{2} + 4)$

Etapa 11.4

Some $8 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$10 {(x^{2} + 4)}^{3} (9 x^{2} + 4)$